Bảng chân trị (Truth Tables)

Bài trước chúng ta đã học về SL (Sentential Logic) — ngôn ngữ hình thức với năm liên từ: phủ định ( $\neg$ ), hội (&), tuyển ( $\lor$ ), điều kiện ( $\to$ ), và song điều kiện ( $\leftrightarrow$ ). Chúng ta biết cách dịch câu tiếng Anh sang SL, và biết rằng mỗi câu trong SL có một giá trị chân trị (truth-value): đúng hoặc sai.

Nhưng rồi bạn sẽ gặp những câu phức như: “Nếu trời mưa thì đường trơn, và nếu đường trơn thì tôi đi muộn.” Làm sao biết được câu này đúng hay sai? Trong ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta dựa vào trực giác. Nhưng trong SL, chúng ta cần một phương pháp cơ học — áp dụng quy tắc như chạy chương trình, không cần suy nghĩ sáng tạo.

Đó chính là bảng chân trị (truth tables).

Toán tử hàm chân trị (Truth-functional operators)

Trước khi đi vào bảng chân trị, hãy hiểu một tính chất quan trọng của SL: tất cả liên từ trong SL đều là hàm chân trị (truth-functional connectives).

Nói đơn giản: giá trị đúng/sai của một câu phức chỉ phụ thuộc vào giá trị đúng/sai của các câu con tạo thành nó. Không cần quan tâm câu đó nói về cái gì, ngữ cảnh ra sao — chỉ cần biết mỗi thành phần đúng hay sai, rồi áp dụng quy tắc.

Ví dụ, để biết $(A \to B)$ đúng hay sai, chỉ cần biết A đúng hay sai, B đúng hay sai. Không cần biết A nói về “trời mưa” hay “bạn tôi đến chơi”, B nói về “đường trơn” hay “tôi đi muộn”.

Hình 1: Hàm chân trị — đầu vào (giá trị) → hàm (liên từ) → đầu ra (giá trị).

Lưu ý: Không phải mọi ngôn ngữ đều có toán tử hàm chân trị. Trong logic modal (modal logic), toán tử “Có thể rằng” (◇) không hàm chân trị — vì một câu có thể đúng trong thế giới thực nhưng vẫn “có thể sai” trong một thế giới khác. SL không phải là logic modal, nên mọi toán tử trong SL đều hàm chân trị.

Bảng chân trị đặc trưng (Characteristic Truth Tables)

Trước đây chúng ta đã gặp bảng chân trị đặc trưng cho từng liên từ — bảng mô tả cách mỗi liên từ biến đổi giá trị chân trị của các thành phần. Đây là bảng tổng hợp cho năm liên từ của SL, dùng 1 cho đúng và 0 cho sai:

A \to B

sai: A = 1, B = 0. Các dòng còn lại đều cho kết quả 1. Hình 2: Bảng chân trị đặc trưng — quy tắc biến đổi giá trị cho mỗi liên từ

Hình 2: Bảng chân trị đặc trưng — quy tắc biến đổi giá trị cho mỗi liên từ.

Tại sao dùng 1 và 0 thay vì T và F? Vì 1 và 0 nhấn mạnh rằng đây là các giá trị số — máy tính có thể xử lý chúng một cách cơ học. 1 có thể là “bit bật”, 0 có thể là “bit tắt”. Về mặt toán học, chúng chỉ là hai giá trị khả thi của một câu SL.

Bảng chân trị đầy đủ (Complete Truth Tables)

Bảng chân trị đặc trưng chỉ cho chúng ta biết cách tính giá trị của câu có một liên từ. Nhưng các câu trong SL thường có nhiều liên từ — và để đánh giá chúng, chúng ta cần bảng chân trị đầy đủ (complete truth table).

Cách xây dựng

Một bảng chân trị đầy đủ cho một câu có n chữ cái câu khác nhau sẽ có 2^n dòng — vì mỗi chữ cái có thể đúng hoặc sai, và chúng ta cần xét tất cả các tổ hợp có thể.

Số biến (n)	Số dòng (2^n)
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

Quy tắc điền cột biến: Bắt đầu với cột bên phải nhất, xen kẽ 1, 0, 1, 0, …. Cột bên trái kế tiếp: viết 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, … (hai 1, hai 0, lặp lại). Cột thứ ba: bốn 1, bốn 0, lặp lại. Cột thứ tư: tám 1, tám 0, lặp lại. Và cứ thế.

Hãy xem xét câu $(H \land I) \to H$ . Câu này có hai biến: H và I → 2^2 = 4 dòng.

Hình 3: Xây dựng bảng chân trị đầy đủ cho $(H \land I) \to H$ — từ biến → trung gian → kết quả.

Quan sát cột cuối cùng: $(H \land I) \to H$ luôn bằng 1 (đúng) ở mọi dòng. Dù H và I nhận giá trị nào đi nữa, câu này luôn đúng. Đây là một luận đúng (tautology).

Ví dụ với 3 biến

Xét câu $M \land (N \lor P)$ . Ba biến → 2^3 = 8 dòng:

M	N	P	M & (N ∨ P)
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Câu này có thể đúng (3 dòng đầu) hoặc sai (5 dòng sau) — tùy thuộc vào giá trị của M, N, P. Đây là một câu phụ thuộc (contingent sentence).

Hình 4: Bảng 8 dòng cho $M \land (N \lor P)$ — 3 dòng đúng, 5 dòng sai → contingent.

Phân loại câu bằng bảng chân trị

Bảng chân trị đầy đủ cho phép chúng ta phân loại mọi câu trong SL thành ba loại:

Luận đúng (Tautology)

Một câu là luận đúng (tautology) trong SL nếu cột dưới toán tử logic chính (main connective) của nó là 1 trên mọi dòng của bảng chân trị đầy đủ.

Nói cách khác: câu đó luôn đúng, bất kể các biến nhận giá trị nào.

Ví dụ: $(H \land I) \to H$ — chúng ta đã thấy ở trên, cột cuối cùng toàn là 1 → tautology.

Một ví dụ kinh điển khác: $A \lor \neg A$ (nguyên lý bài trung tính — law of excluded middle). Bảng chân trị:

A	A ∨ ¬A
1	1
0	1

Hai dòng, hai kết quả đều là 1 → luận đúng.

Mâu thuẫn (Contradiction)

Ngược lại, một câu là mâu thuẫn (contradiction) nếu cột dưới toán tử chính là 0 trên mọi dòng.

Ví dụ: $[(C \leftrightarrow C) \to C] \land \neg(C \to C)$ . Bảng chân trị:

C	[(C ↔ C) → C] & ¬(C → C)
1	0
0	0

Hai dòng, hai kết quả đều là 0 → mâu thuẫn. Câu này không thể đúng trong bất kỳ tình huống nào.

Câu phụ thuộc (Contingent sentence)

Một câu là câu phụ thuộc (contingent) nếu nó không phải tautology cũng không phải contradiction — nghĩa là có ít nhất một dòng là 1 và ít nhất một dòng là 0.

Ví dụ: $M \land (N \lor P)$ — 3 dòng là 1, 5 dòng là 0 → contingent.

Hình 5: Ba loại câu trong SL — phân biệt bằng cách nhìn cột dưới toán tử chính.

Ứng dụng: Tương đương logic (Logical Equivalence)

Hai câu trong SL được gọi là tương đương logic (logically equivalent) nếu chúng có cùng giá trị chân trị trên mọi dòng của bảng chân trị đầy đủ.

Ví dụ: $\neg(A \lor B)$ và $\neg A \land \neg B$ — đây là một trong hai định luật De Morgan. Để kiểm tra, ta xây dựng bảng:

A	B	¬(A ∨ B)	¬A & ¬B
1	1	0	0
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	1

Hai cột cuối cùng khớp nhau ở mọi dòng → $\neg(A \lor B)$ và $\neg A \land \neg B$ tương đương logic.

Điều này có nghĩa trong ngôn ngữ tự nhiên:

“Không phải (A hoặc B)” có nghĩa giống hệt “Không A và không B”.

Ví dụ: “Không phải là (tôi ăn cơm hoặc tôi ăn phở)” = “Tôi không ăn cơm và tôi không ăn phở.”

Hình 6: De Morgan — $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$ — hai cột khớp trên mọi dòng.

Ứng dụng: Tính nhất quán (Consistency)

Một tập hợp các câu trong SL là nhất quán (consistent) nếu có ít nhất một dòng của bảng chân trị đầy đủ trên đó tất cả các câu đều đúng (1). Ngược lại, nếu không có dòng nào mà tất cả cùng đúng, tập hợp đó không nhất quán (inconsistent).

Ví dụ nhất quán: ${A \to B, B \to C, A}$ . Bảng:

A	B	C	$A \to B$	$B \to C$
1	1	1	1	1	← Tất cả đều 1 $\to$ consistent!
1	1	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	0	0	1
0	1	1	1	1	← Cũng consistent!
0	1	0	1	0
0	0	1	1	1	← Cũng consistent!
0	0	0	1	1	← Cũng consistent!

Ba tập hợp câu này nhất quán — có những tình huống (dòng 1, 5, 7, 8) mà cả ba cùng đúng.

Ví dụ không nhất quán: ${A, \neg A}$ . Bảng:

A	¬A
1	0
0	1

Không có dòng nào mà cả A và ¬A đều là 1 → inconsistent.

Ứng dụng: Tính hợp lệ (Validity)

Đây là ứng dụng quan trọng nhất của bảng chân trị. Một lập luận trong SL là hợp lệ (valid) nếu không có dòng nào của bảng chân trị đầy đủ trên đó tất cả tiền đề đều là 1 và kết luận là 0. Ngược lại, nếu có ít nhất một dòng như vậy, lập luận không hợp lệ (invalid).

Xét lập luận:

(P1) $\neg L \to (J \lor L)$

(P2) $\neg L$

(C) $\therefore J$

Bảng chân trị:

J	L	¬L → (J ∨ L)	¬L	J
1	1	1	0	1
1	0	1	1	1	← Dòng duy nhất cả P1, P2 đều 1 → C cũng 1 → valid!
0	1	1	0	0
0	0	0	1	0

Dòng duy nhất trên đó cả hai tiền đề đều là 1 là dòng 2, và trên dòng đó kết luận cũng là 1. Không có dòng nào mà tiền đề đúng mà kết luận sai → lập luận hợp lệ.

_Hình 7: Valid

=

không có dòng

P=1, C=0

Invalid

=

có ít nhất một dòng

P=1, C=0

Mẹo nhớ: Để chứng minh một lập luận không hợp lệ, bạn chỉ cần tìm một phản ví dụ — một dòng duy nhất mà tất cả tiền đề đúng nhưng kết luận sai. Đó gọi là counterexample.

Bảng chân trị từng phần (Partial Truth Tables)

Xây dựng bảng chân trị đầy đủ cho câu có 4 biến đã cần 16 dòng, 5 biến cần 32 dòng. Đôi khi, chúng ta không cần toàn bộ bảng.

Chứng minh một câu KHÔNG phải tautology

Chỉ cần một dòng — một dòng mà câu đó là 0. Đó là bảng từng phần một dòng.

Ví dụ: $(U \land T) \to (S \land W)$ không phải tautology. Ta chỉ cần tìm một dòng mà câu này = 0:

S	T	U	W	(U & T) → (S & W)
0	1	1	0	0	← Chỉ cần dòng này!

Để điều kiện sai: tiền kiện $(U \land T)$ phải $= 1$ ( $\to U=1, T=1$ ) và hậu kiện $(S \land W)$ phải $= 0$ ( $\to S=0 \text{ hoặc } W=0$ ). Chọn $S=0, W=0$ $\to$ hoàn tất.

Chứng minh một lập luận KHÔNG hợp lệ

Tương tự — chỉ cần một dòng mà tất cả tiền đề = 1 và kết luận = 0.

Chứng minh hai câu KHÔNG tương đương

Chỉ cần một dòng mà chúng có giá trị khác nhau.

Bảng tóm tắt: Đầy đủ hay từng phần?

Yêu cầu	CÓ (YES)	KHÔNG (NO)
Luận đúng (tautology)?	Bảng đầy đủ	Bảng từng phần 1 dòng
Mâu thuẫn (contradiction)?	Bảng đầy đủ	Bảng từng phần 1 dòng
Câu phụ thuộc (contingent)?	Bảng từng phần 2 dòng	Bảng đầy đủ
Tương đương (equivalent)?	Bảng đầy đủ	Bảng từng phần 1 dòng
Nhất quán (consistent)?	Bảng từng phần 1 dòng	Bảng đầy đủ
Hợp lệ (valid)?	Bảng đầy đủ	Bảng từng phần 1 dòng

Bài tập thực hành

Hãy thử xây dựng bảng chân trị cho các câu và lập luận sau. Nhấp vào “Xem lời giải” để kiểm tra đáp án.

Phần A — Phân loại câu

Xác định xem mỗi câu là luận đúng (tautology), mâu thuẫn (contradiction), hay câu phụ thuộc (contingent sentence). Biện minh bằng bảng chân trị đầy đủ hoặc từng phần khi thích hợp.

$A \to A$
$\neg B \land B$
$C \to \neg C$
$\neg D \lor D$
$(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow \neg(A \leftrightarrow \neg B)$
$(A \land B) \lor (B \land A)$
$(A \to B) \lor (B \to A)$
$\neg[A \to (B \to A)]$
$(A \land B) \to (B \lor A)$
$A \leftrightarrow [A \to (B \land \neg B)]$
$\neg(A \lor B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B)$
$\neg(A \land B) \leftrightarrow A$

Phần B — Tương đương logic

Xác định xem mỗi cặp câu có tương đương logic (logically equivalent) không. Biện minh bằng bảng chân trị đầy đủ hoặc từng phần.

A, $\neg A$
A, $A \lor A$
$A \to A$ , $A \leftrightarrow A$
$A \lor \neg B$ , $A \to B$
$A \land \neg A$ , $\neg B \leftrightarrow B$
$\neg(A \land B)$ , $\neg A \lor \neg B$
$\neg(A \to B)$ , $\neg A \to \neg B$
$(A \to B)$ , $(\neg B \to \neg A)$
$[(A \lor B) \lor C]$ , $[A \lor (B \lor C)]$
$[(A \lor B) \land C]$ , $[A \lor (B \land C)]$

Phần C — Tính nhất quán

Xác định xem mỗi tập hợp câu là nhất quán (consistent) hay không nhất quán (inconsistent). Biện minh bằng bảng chân trị.

$A \to A$ , $\neg A \to \neg A$ , $A \land A$ , $A \lor A$
$A \land B$ , $C \to \neg B$ , $C$
$A \lor B$ , $A \to C$ , $B \to C$
$A \to B$ , $B \to C$ , $A$ , $\neg C$
$B \land (C \lor A)$ , $A \to B$ , $\neg(B \lor C)$
$A \lor B$ , $B \lor C$ , $C \to \neg A$

Phần D — Tính hợp lệ

Xác định xem mỗi lập luận là hợp lệ (valid) hay không hợp lệ (invalid). Biện minh bằng bảng chân trị.

$A \to B$ , $A \therefore B$
$A \to B$ , $\neg B$ ∴ $\neg A$
$A \to B$ , $B \therefore A$
$A \to (B \land C)$ , $A \therefore B$
$(A \lor B)$ , $(A \to C)$ , $(B \to C)$ ∴ C
$A \to B$ , $(B \to C)$ ∴ $(A \to C)$

Phần A — Lời giải

1. $A \to A$

Bảng: $A=1 \to 1\to1=1$ ; $A=0 \to 0\to0=1$ . Mọi dòng $= 1$ $\to$ tautology.

2. $\neg B \land B$

Bảng: $B=1 \to \neg1\land1=0\land1=0$ ; $B=0 \to \neg0\land0=1\land0=0$ . Mọi dòng $= 0$ $\to$ contradiction.

3. $C \to \neg C$

Bảng: $C=1 \to 1\to0=0$ ; $C=0 \to 0\to1=1$ . Có $1$ , có $0$ $\to$ contingent.

4. $\neg D \lor D$

Bảng: $D=1 \to 0\lor1=1$ ; $D=0 \to 1\lor0=1$ . Mọi dòng $= 1$ $\to$ tautology.

5. $(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow \neg(A \leftrightarrow \neg B)$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1\leftrightarrow\neg(1\leftrightarrow0)=1\leftrightarrow1=1$ ; $(1,0)\to0\leftrightarrow\neg(1\leftrightarrow1)=0\leftrightarrow0=1$ ; $(0,1)\to0\leftrightarrow\neg(0\leftrightarrow0)=0\leftrightarrow0=1$ ; $(0,0)\to1\leftrightarrow\neg(0\leftrightarrow1)=1\leftrightarrow1=1$ . Mọi dòng $= 1$ $\to$ tautology.

6. $(A \land B) \lor (B \land A)$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1\lor1=1$ ; $(1,0)\to0\lor0=0$ ; $(0,1)\to0\lor0=0$ ; $(0,0)\to0\lor0=0$ . Có $1$ , có $0$ $\to$ contingent.

7. $(A \to B) \lor (B \to A)$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1\lor1=1$ ; $(1,0)\to0\lor1=1$ ; $(0,1)\to1\lor0=1$ ; $(0,0)\to1\lor1=1$ . Mọi dòng $= 1$ $\to$ tautology.

8. $\neg[A \to (B \to A)]$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to\neg[1\to(1\to1)]=\neg1=0$ ; $(1,0)\to\neg[1\to(0\to1)]=\neg1=0$ ; $(0,1)\to\neg[0\to(1\to0)]=\neg1=0$ ; $(0,0)\to\neg[0\to(0\to0)]=\neg1=0$ . Mọi dòng $= 0$ $\to$ contradiction.

9. $(A \land B) \to (B \lor A)$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1\to1=1$ ; $(1,0)\to0\to1=1$ ; $(0,1)\to0\to1=1$ ; $(0,0)\to0\to0=1$ . Mọi dòng $= 1$ $\to$ tautology.

10. $A \leftrightarrow [A \to (B \land \neg B)]$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1\leftrightarrow(1\to0)=1\leftrightarrow0=0$ ; $(1,0)\to1\leftrightarrow(1\to0)=1\leftrightarrow0=0$ ; $(0,1)\to0\leftrightarrow(0\to0)=0\leftrightarrow1=0$ ; $(0,0)\to0\leftrightarrow(0\to0)=0\leftrightarrow1=0$ . Mọi dòng $= 0$ $\to$ contradiction.

11. $\neg(A \lor B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B)$

De Morgan — đã chứng minh ở trên. Mọi dòng khớp $\to$ tautology.

12. $\neg(A \land B) \leftrightarrow A$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to0\leftrightarrow1=0$ ; $(1,0)\to1\leftrightarrow1=1$ ; $(0,1)\to1\leftrightarrow0=0$ ; $(0,0)\to1\leftrightarrow0=0$ . Có $1$ , có $0$ $\to$ contingent.

Phần B — Lời giải

1. $A$ , $\neg A$

$A=1$ : $1 \text{ vs } 0$ $\to$ khác nhau $\to$ không tương đương.

2. $A$ , $A \lor A$

Bảng 2 dòng: $A=1$ : $1 \text{ vs } 1$ ; $A=0$ : $0 \text{ vs } 0$ . Mọi dòng khớp $\to$ tương đương.

3. $A \to A$ , $A \leftrightarrow A$

Cả hai đều là tautology (mọi dòng $= 1$ ) $\to$ tương đương.

4. $A \lor \neg B$ , $A \to B$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to1 \text{ vs } 1$ ; $(1,0)\to1 \text{ vs } 0$ $\to$ khác $\to$ không tương đương.

5. $A \land \neg A$ , $\neg B \leftrightarrow B$

Cả hai đều là contradiction (mọi dòng $= 0$ ) $\to$ tương đương.

6. $\neg(A \land B)$ , $\neg A \lor \neg B$

De Morgan thứ hai — đã chứng minh $\to$ tương đương.

7. $\neg(A \to B)$ , $\neg A \to \neg B$

Bảng 4 dòng: $(1,1)\to0 \text{ vs } 1$ ; khác $\to$ không tương đương.

8. $(A \to B)$ , $(\neg B \to \neg A)$

Contrapositive — đã chứng minh ở bài trước $\to$ tương đương.

9. $[(A \lor B) \lor C]$ , $[A \lor (B \lor C)]$

Associativity của $\lor$ — 8 dòng, mọi dòng khớp $\to$ tương đương.

10. $[(A \lor B) \land C]$ , $[A \lor (B \land C)]$

Bảng 8 dòng: $(1,1,0)\to1 \text{ vs } 0$ $\to$ khác $\to$ không tương đương.

Phần C — Lời giải

1. $\{A \to A, \neg A \to \neg A, A \land A, A \lor A\}$

Cả bốn đều là tautology $\to$ mọi dòng đều đúng $\to$ consistent.

2. $\{A \land B, C \to \neg B, C\}$

Dòng $A=1, B=1, C=0$ : $A\land B=1$ , $C\to\neg B=0\to0=1$ , $C=0$ $\to$ $C=0$ không đúng $\to$ thử $A=1, B=0, C=0$ : $A\land B=0$ $\to$ sai. Thử $A=1, B=1, C=0$ : $C\to\neg B=0\to0=1$ , nhưng $A\land B=1, C=0$ $\to$ $C$ sai. Không có dòng nào cả ba cùng đúng $\to$ inconsistent.

3. $\{A \lor B, A \to C, B \to C\}$

Dòng $A=1, B=0, C=1$ : $A\lor B=1$ , $A\to C=1$ , $B\to C=1$ $\to$ cả ba đều $1$ $\to$ consistent.

4. $\{A \to B, B \to C, A, \neg C\}$

$A=1, \neg C=1 \to C=0$ . $B\to C=1 \text{ với } C=0 \to B=0$ . $A\to B=1 \text{ với } A=1 \to B=1$ . Mâu thuẫn: $B=0 \text{ và } B=1$ $\to$ inconsistent.

5. $\{B \land (C \lor A), A \to B, \neg(B \lor C)\}$

$\neg(B\lor C)=1 \to B=0, C=0$ . $B\land\dots=0$ $\to$ không thể $=1$ $\to$ inconsistent.

6. $\{A \lor B, B \lor C, C \to \neg A\}$

Dòng $A=1, B=0, C=0$ : $A\lor B=1$ , $B\lor C=0$ $\to$ sai. $A=1, B=1, C=0$ : $A\lor B=1$ , $B\lor C=1$ , $C\to\neg A=0\to0=1$ $\to$ cả ba đều $1$ $\to$ consistent.

Phần D — Lời giải

1. $A \to B$ , $A \therefore B$

Bảng 4 dòng: dòng duy nhất $P1=1, P2=1$ là $(1,1)$ $\to$ $C=1$ $\to$ valid. (Modus Ponens)

2. $A \to B$ , $\neg B$ $\therefore$ $\neg A$

Dòng duy nhất $P1=1, P2=1$ là $(1,0)$ $\to$ $C=\neg1=0?$ Không, $C=\neg A=\neg1=0$ . Chờ — $P2=\neg B=1 \to B=0$ . $P1=A\to B=1 \text{ với } B=0 \to A=0$ . $C=\neg A=1$ $\to$ valid. (Modus Tollens)

3. $A \to B$ , $B$ $\therefore$ $A$

Dòng $A=0, B=1$ : $P1=1, P2=1, C=0$ $\to$ invalid. (Fallacy of affirming the consequent)

4. $A \to (B \land C)$ , $A$ $\therefore$ $B$

Dòng duy nhất $P1=1, P2=1$ là $A=1$ . $A\to(B\land C)=1 \text{ với } A=1 \to B\land C=1 \to B=1$ $\to$ valid.

5. $(A \lor B)$ , $(A \to C)$ , $(B \to C)$ $\therefore$ $C$

Dòng $A=1, B=0, C=0$ : $P1=1, P2=0, P3=1$ → không phải dòng tất cả P=1. Dòng $A=0, B=1, C=0$ : $P1=1, P2=0\to0=1, P3=1\to0=0$ → P3=0. Dòng $A=0, B=0, C=0$ : P1=0. Dòng $A=1, B=1, C=0$ : P1=1, P2=1→0=0 → P2=0. Không có dòng nào P1=P2=P3=1, C=0 → valid. (Proof by cases)

6. $A \to B$ , $(B \to C)$ $\therefore$ $(A \to C)$

Dòng duy nhất có thể gây vấn đề: $A=1, C=0$ . $B\to C=1 \text{ với } C=0 \to B=0$ . $A\to B=1 \text{ với } A=1, B=0 \to 1\to0=0 \to P1=0$ . Không có dòng nào $P1=1, P2=1, C=0$ $\to$ valid. (Hypothetical syllogism)

Tóm tắt

Khái niệm	Định nghĩa (SL)	Cần bảng?
Tautology	Toán tử chính $= 1$ trên mọi dòng	Đầy đủ
Contradiction	Toán tử chính $= 0$ trên mọi dòng	Đầy đủ
Contingent	Có ít nhất một $1$ và một $0$	Từng phần (2 dòng)
Logical equivalence	Hai câu có cùng giá trị trên mọi dòng	Đầy đủ
Consistency	Có ít nhất một dòng tất cả câu $= 1$	Từng phần (1 dòng)
Validity	Không có dòng nào $P=1, C=0$	Đầy đủ

Bài tiếp theo: Logic vị từ — Quantified Logic (QL)

Chuẩn bị từ giáo trình: P.D. Magnus, forall x: An Introduction to Formal Logic (CC BY 4.0).