Toán học nền tảng và Logic

Danh sách các bài viết, độc giả nên đọc hoặc học theo thứ tự từ trên xuống.

Lộ trình bài học

Dưới đây là lộ trình học sâu về Logic, bám theo giáo trình forall x: An Introduction to Formal Logic của P.D. Magnus. Mỗi subject là một bài viết riêng.

0. Giới thiệu về Logic

Mô tả: Bài mở đầu giới thiệu khái niệm về Logic — ngành nghiên cứu về các nguyên tắc hướng dẫn suy nghĩ đúng đắn. Phân biệt giữa lập luận hợp lệ và sai lầm. Các khái niệm nền tảng: quy tắc suy luận (rules of inference), chứng minh (proof), suy diễn (deduction), và các ví dụ minh họa về silogism.

Giới thiệu về Logic (Introduction to Logic) — Đã xuất bản.

1. Lập luận, Tính hợp lệ và Các khái niệm nền tảng

Mô tả: Đi sâu vào định nghĩa chính xác của một lập luận (argument) — tiền đề (premises) và kết luận (conclusion). Khái niệm suy diễn hợp lệ (deductively valid): một lập luận là hợp lệ nếu và chỉ nếu không thể xảy ra trường hợp tiền đề đúng mà kết luận sai. Phân biệt giữa tính hợp lệ (validity) và tính đúng (truth). Các khái niệm liên quan: luận đúng (tautology), mâu thuẫn (contradiction), câu phụ thuộc (contingent sentence), tương đương logic (logical equivalence), và tính nhất quán (consistency).

Lập luận, Tính hợp lệ & Khái niệm nền tảng (Arguments, Validity, & Foundations) — Đã xuất bản.

2. Logic mệnh đề — Ngôn ngữ hình thức SL

Mô tả: Giới thiệu ngôn ngữ hình thức SL (Sentential Logic) với 5 toán tử: phủ định (¬), hội (&), tuyển (∨), điều kiện (→), song điều kiện (↔). Cách ký hiệu hóa (symbolization) — gán chữ cái cho câu tiếng Anh và xây dựng công thức hình thức. Câu nguyên tử (atomic sentence) vs câu phức (complex sentence). Khóa ký hiệu hóa (symbolization key). Các thách thức dịch từ ngôn ngữ tự nhiên sang SL (ví dụ: “nhưng”, “mặc dù”, “không… mà cũng không…”).

Logic mệnh đề — Ngôn ngữ hình thức SL (Sentential Logic) — Đã xuất bản.

3. Bảng chân trị

Mô tả: Phương pháp hệ thống để xác định giá trị chân trị của mọi công thức SL dựa trên giá trị của các thành phần. Quy tắc xây dựng bảng chân trị (2^n hàng với n biến). Ứng dụng: xác định luận đúng (tautology), mâu thuẫn (contradiction), câu phụ thuộc (contingent), tương đương logic (logically equivalent), và tính nhất quán (consistent). Bảng chân trị đặc trưng (characteristic truth tables) cho từng toán tử.

Bảng chân trị (Truth Tables) — Đã xuất bản.

4. Logic vị từ — Lượng từ toàn thể và tồn tại

Mô tả: Mở rộng SL thành QL (Quantified Logic) với lượng từ (quantifiers): toàn thể (∀) — “mọi”, “tất cả”; tồn tại (∃) — “tồn tại”, “một số”. Miền hội thoại (domain of discourse). Hằng số cá thể (individual constants), giới từ (predicates), và mối quan hệ (relations). Dịch câu “Mọi người đều chết” thành ∀x(Hx → Dx). Dịch “Tồn tại một số A là B” thành ∃x(Ax ∧ Bx). Lượng từ lồng nhau (nested quantifiers).

Logic vị từ — Lượng từ (Quantified Logic) — Đang viết, sẽ xuất bản sớm.

5. Ngữ nghĩa hình thức

Mô tả: Định nghĩa chính xác và rigorous về tính hợp lệ, mâu thuẫn, tương đương logic, và tính nhất quán trong ngữ cảnh hình thức. Mô hình (models) cho SL và QL. Định nghĩa tính hợp lệ qua mọi mô hình có thể (all possible models). Định nghĩa tương đương logic: hai câu tương đương trong mọi mô hình. Tính nhất quán: tồn tại ít nhất một mô hình làm tất cả cùng đúng.

Ngữ nghĩa hình thức (Formal Semantics) — Đang viết, sẽ xuất bản sớm.

6. Chứng minh hình thức

Mô tả: Hệ thống proof trong SL và QL — chuỗi các bước suy luận từng bước áp dụng quy tắc suy luận (rules of inference). Các quy tắc cơ bản: Modus Ponens, Modus Tollens, Loại bỏ phép phủ định kép (¬¬O), Giả thiết phụ (Subproof), Giới thiệu/Loại bỏ lượng từ (∀E, ∀I, ∃E, ∃I). Chứng minh gián tiếp (indirect proof) — giả sử ngược lại rồi dẫn đến mâu thuẫn.

Chứng minh hình thức (Formal Proofs) — Đang viết, sẽ xuất bản sớm.

Chuẩn bị từ giáo trình: P.D. Magnus, forall x: An Introduction to Formal Logic (CC BY 4.0).